一、什么是 dB？
dB（分贝）是一个无量纲的单位，用于表示两个物理量的比值（如功率、电压、电流的比值），目的是将大范围的数值压缩成更易处理的小数值，同时直观反映信号的强弱变化或系统的增益/衰减特性。
1. 功率的 dB 计算
[
\text{dB} = 10 \times \log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)
]
- (P_1)：参考功率（如输入功率）。
- (P_2)：目标功率（如输出功率）。
- 例：若输出功率是输入功率的 10 倍，则增益为 (10 \times \log_{10}(10) = 10 , \text{dB})；若输出功率是输入功率的 1/10，则衰减为 (-10 , \text{dB})。
2. 电压/电流的 dB 计算（功率与电压的关系：(P \propto V^2)）
[
\text{dB} = 20 \times \log_{10}\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \quad \text{或} \quad 20 \times \log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right)
]
- 原因：功率与电压平方成正比，因此公式中系数为 20（而非 10）。
- 例：若输出电压是输入电压的 2 倍，则增益为 (20 \times \log_{10}(2) \approx 6 , \text{dB})；若输出电压是输入电压的 1/√2（约 0.707 倍），则衰减为 (20 \times \log_{10}(1/\sqrt{2}) \approx -3 , \text{dB})。
二、什么是 -3dB？
-3dB 是电路中非常重要的临界值，通常对应信号功率衰减为原来的一半（或电压/电流衰减为原来的 (1/\sqrt{2} \approx 0.707) 倍）。
1. -3dB 的物理意义
- 功率角度：
当功率 (P_2 = P_1/2) 时，
[
\text{dB} = 10 \times \log_{10}(1/2) \approx -3 , \text{dB}
] - 电压/电流角度：
当电压 (V_2 = V_1/\sqrt{2}) 时，
[
\text{dB} = 20 \times \log_{10}(1/\sqrt{2}) \approx -3 , \text{dB}
] - 为什么重要？
在滤波器、放大器等电路中，-3dB 点通常被定义为截止频率（(f_c)），即从此频率开始，电路对信号的衰减显著增加。- 对于低通滤波器，截止频率 (f_c) 是“允许通过的最高频率”，高于 (f_c) 的信号被衰减。
- 对于高通滤波器，截止频率 (f_c) 是“允许通过的最低频率”，低于 (f_c) 的信号被衰减。
三、结合原文的具体解释
1. 最大增益 ≤1（通常 < 1），信号通过时会衰减（如 -3dB 截止点）
- RC 无源滤波器由电阻和电容组成，没有放大元件（如运放），因此：
- 最大增益为 1（当输入信号频率为 0 时，电容相当于开路，输出电压等于输入电压，即 (V_{out} = V_{in})，增益为 1，对应 (0 , \text{dB})）。
- 实际中增益通常 < 1，因为电容对交流信号有容抗（(X_C = 1/(2\pi fC))），频率越高，容抗越小，输出电压越低（衰减越大）。
- -3dB 截止点：
当信号频率达到 (f_c) 时，输出电压衰减为输入电压的 (1/\sqrt{2})（约 70.7%），对应 -3dB，此时电路开始显著抑制信号。
2. 例：RC 低通滤波器的增益公式
[
A = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi f RC)^2}}
]
- 公式推导：
RC 低通滤波器的传递函数为 (H(s) = \frac{1}{1 + sRC})（(s = j2\pi f) 为复频率），其幅频特性为：
[
|H(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi f RC)^2}}
] - 分析频率特性：
- 当 (f \ll f_c)（低频）：((2\pi f RC)^2 \approx 0)，增益 (A \approx 1)（0dB），信号几乎无衰减通过。
- 当 (f = f_c)：此时 (2\pi f RC = 1)，增益 (A = 1/\sqrt{2} \approx 0.707)，对应 -3dB，即截止频率点。
- 当 (f \gg f_c)（高频）：((2\pi f RC)^2 \gg 1)，增益 (A \approx 1/(2\pi f RC))，随频率升高趋近于 0，信号被大幅衰减。
四、总结：dB 与 -3dB 的核心作用
- dB 的优势：
- 用对数压缩数值范围（如将 0.001 到 1000 的比值转换为 -30dB 到 +30dB），便于分析和设计。
- 多级电路的总增益可通过 dB 相加（而非乘法），简化计算（如级联两个 10dB 放大器，总增益为 20dB）。
- -3dB 的工程意义：
- 作为滤波器“通带”和“阻带”的分界点，定义了电路有效工作的频率范围。
- 在 RC 无源滤波器中，-3dB 点自然由 RC 元件的物理特性决定，无需额外设计；而有源滤波器可通过运放和反馈网络灵活调整截止频率和衰减特性。